El alumno analizará el comportamiento de las Funciones con el USO de Técnicas de Optimización. Aplicará Estas Tecnicas En la Resolución de Problemas de las Disciplinas económico-administrativas.
5.1 Función Creciente y decreciente.
· Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £x2, se verifica que
f( x1 ) < f( x2 ).
Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).
· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).
Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.
FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO
· Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto
f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y
f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).
· Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que
f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y
f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).
La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.
Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.
Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función
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Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x2 en los puntos
Resolución:
· La función y = x2 es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si
Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x3 < x4 Þ x32 >x42 (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)2 > (-3)2 ). Es estrictamente decreciente en x = 0.
· Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.
Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.
Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.
5.2 Extremos relativos y Extremos absolutos.
Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:
Si f'(a) = 0.
Si f''(a) ≠ 0.
Máximos relativos
Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:
f'(a) = 0
f''(a) < 0
Mínimos relativos
Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:
f'(a) = 0
f''(a) > 0
http://www.vitutor.com/fun/5/c_9.HTML
Extremos absolutos
Extremos relativos a veces pueden ser extremosabsolutos, como demuestra la siguiente definición:
f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.
f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.
La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.
Ejemplo
Sea otra vez
- f(x) = x2- 2x, con dominio [0, 4].
- El máximo a (0, 0) no es un máximo absoluto;
- El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto;
- El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto.
5.3 Prueba de la primera Derivada Para La determinacion de Máximos y Mínimos.
Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico
http://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_la_primera_derivada
5.4 concavidad, puntos de inflexión y prueba de la Segunda Derivada.
Concavidad y Punto de inflexión
Enseguida te invito a que observes con detenimiento el comportamiento de la siguiente gráfica la cual muestra cómo cambia la estatura de una persona respecto al tiempo.
Como puedes apreciar, al principio la gráfica no es muy inclinada. Sin embargo, la inclinación aumenta conforme la persona avanza en su edad, es decir, los aumentos de estatura son muy notorios en los primeros años de vida de una persona, ello hasta que la gráfica llega a un punto de máxima inclinación, después, aunque la gráfica sigue siendo creciente, la tasa de incremento o razón de cambio es menor que al principio, es decir, la razón de cambio (primera derivada o pendiente de la recta) disminuye en relación con la mostrada en los primeros años. Al punto de la curva donde se alcanza la mayor estatura se le conoce en economía, por razones obvias, como Punto de los Rendimientos Decrecientes.
Este comportamiento se puede describir en términos de las tangentes de la curva:
| • | Hasta antes del punto de rendimiento decreciente, la pendiente de la recta tangente aumenta a medida que t aumenta. |
| • | Después de dicho punto, la pendiente de la tangente disminuye cuando t aumenta |
Que representado mediante gráficas queda de la siguiente manera:
Este incremento o decremento de la pendiente de la tangente se puede describir en términos de una característica llamada Concavidad, la cual queda definida de la siguiente manera:
| • | La gráfica es cóncava hacia arriba si su primera derivada es creciente en el intervalo de prueba |
| • | La gráfica es cóncava hacia abajo si su primera derivada es decreciente en el intervalo de prueba |
Ahora bien, puesto que la segunda derivada indica la razón de cambio de la primera derivada, entonces la concavidad puede quedar caracterizada por la segunda derivada, esto es:
Si en un intervalo de a < x < b, f’’(x) > 0, entonces f’(x) es creciente, lo cual indica que la gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba en dicho intervalo
Por otro lado, si en un intervalo de a < x < b, f’’(x) < 0, entonces f’(x), es decreciente, lo cual indica que la gráfica de f(x) es cóncava hacia abajo en dicho intervalo
Ahora bien, te puedes encontrar con funciones cuya gráfica tenga cambios muy especiales, tal es el caso de la siguiente gráfica:
En estos casos, es muy interesante saber exactamente en qué punto cambia la concavidad. Por principio de cuentas, te mencionaré que este punto recibe el nombre dePunto de inflexión, y que éste se define como el punto donde la concavidad cambia, es decir, que un punto es de inflexión si la curva es cóncava hacia arriba en un lado y cóncava hacia abajo en el otro.. Pero además hay otra característica propia de este punto, en él, le segunda derivada es cero o bien, es indefinida.
Reuniendo las dos ideas, se pueden encontrar intervalos de concavidad y puntos de inflexión, de acuerdo al siguiente procedimiento:
De esta manera, se puede establecer que los puntos de inflexión son aquéllos donde la gráfica “se tuerce”, es más, se pueden dar todas las siguientes posibilidades:
Lo cual nos lleva a que una gráfica puede tener tanto varios puntos de inflexión como los que muestra la siguiente gráfica:
Ahora bien, resumiendo lo tratado en esta unidad, se pueden llegar a trazar gráficas utilizando para ello los criterios de concavidad, los puntos de inflexión y el método de la primera derivada para determinar el carácter creciente o decreciente y los puntos máximos y mínimos. Enseguida, se muestra un ejemplo de esto:
Con lo anterior, puede concluirse que la segunda derivada puede ser empleada para clasificar un punto crítico de una función como un máximo o un mínimo relativo, esto da lugar al llamado Criterio de la Segunda Derivada, que enseguida se describe.
Criterio de la segunda derivada
Es un procedimiento rápido y fácil para muchas funciones de las que se desea conocer sus puntos máximos y mínimos, sin embargo, presenta serias limitantes, algunas son: puede resultar complicado obtener la segunda derivada, no funciona cuando la primera derivada no está definida. Su procedimiento es el siguiente:
Los siguientes ejercicios tienen como propósito ejercitar estos procedimientos para afianzarlos, por ello tienen respuestas para que verifiques tus resultados:
5.5 Optimización de Funciones económico-Administrativas: maximización de Funciones de ingreso, utilidad f y Beneficios; minimización de Funciones de Costos y Costos Promedio.
Maximizar o minimizar una función objetivo
Página web con conceptos e ideas de maximizar o minimizar una función objetivo de programación lineal.
Optimizar un problema para maximizar el beneficio y minimizar el gasto
En este problema tenemos que plantear una función objetivo para maximizar el beneficio y otrafunción objetivo para minimizar el consumo.
Planteamiento del problema
- Construimos una tabla con los datos del enunciado
| Maximizar o minimizar una función objetivo | ||
|---|---|---|
| A | B | |
| Consumo (L) | 900 | 700 |
| Beneficios (€) | 30000 | 20000 |
- Expresamos con ecuaciones e inecuaciones lineales la información descrita
- Representamos las restricciones y nombramos los puntos de la región factible
- Calculamos las coordenadas de los puntos de la región factible y la solución de las funciones objetivo
ELASTICIDAD INGRESO DE LA DEMANDA
La elasticidad ingreso de la demanda , llamada a veces elasticidad demanda-renta, mide cómo afectan las variaciones de la renta o ingresos de los consumidores a la cantidad demandada de un bien. El coeficiente de elasticidad ingreso de la demanda e I se calcula dividiendo la variación porcentual de la demanda por la variación porcentual de la renta.
De acuerdo al valor de e I , los bienes se pueden clasificar como:
• Bienes normales : Son aquellos cuyo coeficiente de elasticidad ingreso es positivo. Esto significa que cuando aumentan los ingresos del consumidor, la demanda de los bienes normales también aumenta. Pueden ser:
• Bienes de lujo: Su coeficiente de elasticidad ingreso es mayor que 1. Es decir, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda crece en una proporción mayor.
• Bienes básicos: Su coeficiente de elasticidad ingreso es positivo y menor que 1. Es decir, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda crece en una proporción menor.
• Bienes inferiores : Su coeficiente de elasticidad ingreso es negativo. Por tanto, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda de estos bienes disminuye porque el consumidor puede optar por otros productos de mayor calidad.
Debido a la variabilidad de la elasticidad ingreso, un bien puede ser de lujo a niveles bajos de ingreso y un bien inferior a niveles altos de ingreso.
ELASTICIDAD CRUZADA DE LA DEMANDA
La elasticidad cruzada de la demanda mide cómo evoluciona y se modifica la demanda de un bien cuando cambia el precio de otro. La elasticidad cruzada se calcula dividiendo el cambio porcentual de la cantidad demandada del bien X ante una variación porcentual del precio del bienY . Si los bienes son sustitutivos (por ejemplo, distintas marcas de automóviles) el aumento del precio de la marca X puede aumentar las ventas de la marca Y , por lo que la elasticidad cruzada será positiva. Si los bienes son complementarios, por ejemplo, los ordenadores o computadoras y el software, el aumento del precio de uno disminuirá las ventas del otro, por lo que la elasticidad cruzada será negativa. Si los bienes son independientes, por ejemplo, teléfonos y cepillos de dientes, por mucho que aumente el precio de uno no variará la demanda del otro, por lo que la elasticidad cruzada será cero.
El coeficiente de elasticidad cruzada del bien X con respecto al bien Y se define como:
ELASTICIDAD PRECIO DE LA OFERTA
La elasticidad precio de la oferta mide cómo la variación del precio de un bien afecta a la cantidad ofrecida de ese bien, cuando todos los demás factores permanecen constantes. Se calcula dividiendo el cambio porcentual en la cantidad ofrecida por el cambio porcentual del precio.
El coeficiente de la elasticidad precio de la oferta ( e O ) es una medida del cambio porcentual de la cantidad ofrecida de un artículo por unidad de tiempo, que resulta de una variación porcentual del precio del artículo. Si ?Qo representa el cambio en la cantidad ofrecida de un artículo debido a un cambio en su precio ?P, el coeficiente de elasticidad se define como:
De acuerdo a este criterio, la oferta se puede clasificar en elástica (si e O > 1), inelástica (si e O < 1) y unitaria (si e O = 1). Se pueden encontrar e O arco y e O punto de la misma forma que e arco y e punto.
http://www.aulafacil.com/cursosenviados/cursomicroeconomia/Lecc-7.htm
RESUMEN DE LA UNIDAD V:
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.
muy buen blog
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