UNIDAD IV TOPICOS COMPLEMENTARIOS DE DIFERENCIACION

Objetivo:

. El alumno aprenderá el USO de Técnicas Avanzadas de derivación Y Sus Aplicaciones, Parr Casos Especiales Derivadas de Funciones Como exponenciales, logarítmicas Funciones y Funciones implícitas, Entre Otras. Comprenderá el Concepto de diferencial Y Sus Aplicaciones.


4.1 Derivadas de Funciones logarítmicas. 

En el ámbito de las matemáticas, específicamente en el cálculo y el análisis complejo, la derivada logarítmica de unafunción f queda definida por la fórmula

donde f ′ es la derivada de f.

Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma valores reales, estrictamente positivos, esta es entonces la fórmula para (log f)′, o sea, la derivada del logaritmo natural de f, como se deduce aplicando directamente la regla de la cadena.

Propiedades básicas

Muchas propiedades del logaritmo real también son válidas para la derivada logarítmica, aún cuando la función no toma valores de reales positivos. Por ejemplo, dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, se tiene que

Por lo que para funciones reales positivas, la derivada logarítmica de un producto es la suma de la derivada logarítmica de los factores. También es posible aplicar la regla de Leibniz para la derivada del producto y así obtener  Por lo tanto, es cierto que para toda función que la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas están definidas).

En forma similar (de hecho es una consecuencia), la derivada logarítmica de de la función recíproca de una función es el negado de la derivada logarítmica de la función:

en la misma forma que el logaritmo de la recíproca de un número real positivo es la negación del logaritmo del número.

En forma general, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del dividendo y del divisor:

en la misma forma que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.

Con respecto a la derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante), la misma es el producto del exponente y de la derivada logarímica de la base:

en forma análoga a que el logaritmo de una potencia es el producto entre el exponente y el logaritmo de la base.

En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos poseen una regla del producto, una regla recíproca, una regla del cociente, y una regla de la potencia (comparar con la lista de identidades logarítmicas); cada par de reglas se encuentran relacionadas mediante la derivada logarítmica.

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_logar%C3%ADtmica

4.2 Derivadas de Funciones exponenciales. 

Sabemos que  e es un número irracional, pues e = 2.718281828... La notación epara este número fue dada por Leonhard Euler (1727).

La función f(x) = e^x   es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = e^x está entre f(x) = 2^x y f(x) = 3^x, como se ilustra a la izquierda.

 Como e > 1, la función f(x) = e^x es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = e^x. Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = e^x en cualquier punto (x,e^x) es igual a la coordenada y de ese punto.  Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = e^x  en el punto (0,1) la pendiente es 1.

 Reglas para la derivación de funciones exponenciales:

http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/dervfunexponenciales.htm

4.3 diferenciación implícita. 

Se dice  que  una  función  donde   la  variable depende  se  expresa  solo  en  términos  de  la  variable  independiente  x,  a  saber, y = f(x), es  una  función  explicita  por  ejemplo  y = ½ x³ -1  es  una  función explicita. Por  otra  parte  se  dice que  una  función implícita de x  acabamos  de  ver  que  la  ecuación  x² + y² = 4 define  implícita  mente  la  función  o  que  es  una  función implícita de x.  acabamos  de  ver  que  la  ecuación x² + y² = 4 define  implícita  mente   las  dos  funciones  f(x) =    4 – x²      y  g(x) = –    4 – x²

EJEMPLO  DE  LA  DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA.

Encuentre  dy/ dx  si  x² + y² = 4

Solución.  Se  diferencian  ambos miembro   de  la  ecuación  y  luego se  usa (6):

dx²  + d y² =   d 4

dx         dx       dx

2x + 2y dy   = 0

Dx

Al  despejar  la  derivada  obtenemos.

Dy = -x

Dx    y

http://calculoumgsanmarcos.ccvsanmarcos.com/f-diferenciacion-implicita/

4.4 diferenciación logarítmica. 

Se deriva una función utilizando la técnica de diferenciación logarítmica. Se aprovechan ademá las propiedades de los logaritmos para simplicar la función y derivarla de una manera más sencilla. el video es un poco largo poco se explica paso a paso y no se omite ninguno de ellos. Se utiliza diferenciación logarítmica como una alternativa a la derivación en lugar de la regla de la cadena u otra técnica, aunque no pretende substituirla.



https://www.youtube.com/watch?v=fi6dQdhAQOQ

4.5 Derivadas de Orden superior. 

Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Derivadas_de_orden_superiorbibliografia:  mi libreta de apuntes



4.6 Diferenciales. 

En matemática, el término diferencial posee varios significados:

• En el campo de la matemática llamado cálculo, el diferencial representa un cambio en la linearización de una función.
• Tradicionalmente, el diferencial (ej. dx, dy, dt etc...) es interpretado como un infinitesimal.
• La diferencial jacobiana cuyas componentes son las derivadas parciales de una función de forma Rⁿ en R^m(especialmente cuando esta matriz es vista como una aplicación lineal).
•   Geometría diferencial
• Las formas diferenciales proveen un marco de trabajo que permite multiplicación y derivación de diferenciales.
• La derivada exterior es una noción de derivación de formas diferenciales que generaliza el diferencial de una función (la cual es un diferencial 1-forma).
• La aplicación diferencial tangente o pushforward se refiere a la derivada de una aplicación entre variedades diferenciables y las operaciones que define. El diferencial es también usado para definir el concepto dual depullback.

http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_%28c%C3%A1lculo%29

RESUMEN DE LA UNIDAD IV:

Este es el resumen de la unidad IV. Si una ecuación define de manera implícita a y como función de x [en vez de definirla en forma explícita, en forma y = f (x )], entonces dy/dx puede encontrarse por diferenciación implícita. Con este método, tratamos a y como una función de x y diferenciamos ambos miembros de la ecuación con respecto a x.