UNIDAD V APLICACIONES DE LA DERIVADA

 Ojetivo:

El alumno analizará el comportamiento de las Funciones con el USO de Técnicas de Optimización. Aplicará Estas Tecnicas En la Resolución de Problemas de las Disciplinas económico-administrativas. 


5.1 Función Creciente y decreciente.

· Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁  y x₂, con la condición x₁ £x₂, se verifica que

 f( x₁ ) < f( x₂ ).

Se dice estrictamente creciente si de x₁ < x₂ se deduce que f(x₁) < f(x₂).

· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x₁  y x₂, que cumplan x₁ £ x₂, entonces f(x₁ ) ³ f(x₂ ).

Siempre que de x₁ < x₂ se deduzca f(x₁ ) > f(x₂ ), la función se dice estrictamente decreciente.

FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO

· Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

· Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.

Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.

Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x² en los puntos

Resolución:

· La función y = x² es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x₃ < x₄ Þ x₃² >x₄²  (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)² > (-3)² ). Es estrictamente decreciente en x = 0.

· Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.

Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.

Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.

http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcreyd.htm

 5.2 Extremos relativos y Extremos absolutos. 

Si f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:

Si f'(a) = 0.

Si f''(a) ≠ 0.

Máximos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) < 0

Mínimos relativos

Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo si se cumple:

f'(a) = 0

f''(a) > 0

http://www.vitutor.com/fun/5/c_9.HTML

Extremos absolutos
Extremos relativos a veces pueden ser extremosabsolutos, como demuestra la siguiente definición:
f tiene un máximo absoluto a c si f(c) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f.
f tiene un mínimo absoluto a c si f(c) ≤ f(x) para toda x en el dominio de f.
La siguiente figura muestra dos extremos relativos que están también extremos absolutos.
Nota Todos los extremos absolutos son automáticamente extremos relativos, según nuestra convención.
Ejemplo

Sea otra vez

f(x) = x²- 2x,   con dominio [0, 4].

Mirando a sus extremos relativos, observamos que:

• El máximo a (0, 0) no es un máximo absoluto;
• El mínimo a (1, -1) es un mínimo absoluto;
• El máximo a (4, 8) es un máximo absoluto.

 Si cambiamos el dominio a [0, +∞), entonces no sería ningún máximo absoluto 

https://sites.google.com/site/virtualcdcasasceduardo/5-aplicacion-de-la-derivada/conceptos-de-extremos-absolutos-extremos-relativos-puntos-criticos

 5.3 Prueba de la primera Derivada Para La determinacion de Máximos y Mínimos.

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico 

http://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_la_primera_derivada

 5.4 concavidad, puntos de inflexión y prueba de la Segunda Derivada.

Concavidad y Punto de inflexión 

Enseguida te invito a que observes con detenimiento el comportamiento de la siguiente gráfica la cual muestra cómo cambia la estatura de una persona respecto al tiempo.

Como puedes apreciar, al principio la gráfica no es muy inclinada. Sin embargo, la inclinación aumenta conforme la persona avanza en su edad, es decir, los aumentos de estatura son muy notorios en los primeros años de vida de una persona, ello hasta que la gráfica llega a un punto de máxima inclinación, después, aunque la gráfica sigue siendo creciente, la tasa de incremento o razón de cambio es menor que al principio, es decir, la razón de cambio (primera derivada o pendiente de la recta) disminuye en relación con la mostrada en los primeros años. Al punto de la curva donde se alcanza la mayor estatura se le conoce en economía, por razones obvias, como Punto de los Rendimientos Decrecientes.

Este comportamiento se puede describir en términos de las tangentes de la curva:

•	Hasta antes del punto de rendimiento decreciente, la pendiente de la recta tangente aumenta a medida que t aumenta.
•	Después de dicho punto, la pendiente de la tangente disminuye cuando t aumenta

Que representado mediante gráficas queda de la siguiente manera:

Este incremento o decremento de la pendiente de la tangente se puede describir en términos de una característica llamada Concavidad, la cual queda definida de la siguiente manera:

•	La gráfica es cóncava hacia arriba si su primera derivada es creciente en el intervalo de prueba
•	La gráfica es cóncava hacia abajo si su primera derivada es decreciente en el intervalo de prueba

Ahora bien, puesto que la segunda derivada indica la razón de cambio de la primera derivada, entonces la concavidad puede quedar caracterizada por la segunda derivada, esto es:

Si en un intervalo de a < x < b, f’’(x) > 0, entonces f’(x) es creciente, lo cual indica que la gráfica de f(x) es cóncava hacia arriba en dicho intervalo 

Por otro lado, si en un intervalo de a < x < b, f’’(x) < 0, entonces f’(x), es decreciente, lo cual indica que la gráfica de f(x) es cóncava hacia abajo en dicho intervalo
 

Ahora bien, te puedes encontrar con funciones cuya gráfica tenga cambios muy especiales, tal es el caso de la siguiente gráfica:

En estos casos, es muy interesante saber exactamente en qué punto cambia la concavidad. Por principio de cuentas, te mencionaré que este punto recibe el nombre dePunto de inflexión, y que éste se define como el punto donde la concavidad cambia, es decir, que un punto es de inflexión si la curva es cóncava hacia arriba en un lado y cóncava hacia abajo en el otro.. Pero además hay otra característica propia de este punto, en él, le segunda derivada es cero o bien, es indefinida.

Reuniendo las dos ideas, se pueden encontrar intervalos de concavidad y puntos de inflexión, de acuerdo al siguiente procedimiento:

De esta manera, se puede establecer que los puntos de inflexión son aquéllos donde la gráfica “se tuerce”, es más, se pueden dar todas las siguientes posibilidades:

Lo cual nos lleva a que una gráfica puede tener tanto varios puntos de inflexión como los que muestra la siguiente gráfica:

Ahora bien, resumiendo lo tratado en esta unidad, se pueden llegar a trazar gráficas utilizando para ello los criterios de concavidad, los puntos de inflexión y el método de la primera derivada para determinar  el carácter creciente o decreciente y los puntos máximos y mínimos. Enseguida, se muestra un ejemplo de esto:

Ejemplo 35:

Con lo anterior, puede concluirse que la segunda derivada puede ser empleada para clasificar un punto crítico de una función como un máximo o un mínimo relativo, esto da lugar al llamado Criterio de la Segunda Derivada, que enseguida se describe.

Criterio de la segunda derivada

Es un procedimiento rápido y fácil para muchas funciones de las que se desea conocer sus puntos máximos y mínimos, sin embargo, presenta serias limitantes, algunas son: puede resultar complicado obtener la segunda derivada, no funciona cuando la primera derivada no está definida. Su procedimiento es el siguiente:

Los siguientes ejercicios tienen como propósito ejercitar estos procedimientos para afianzarlos, por ello tienen respuestas para que verifiques tus resultados:

 5.5 Optimización de Funciones económico-Administrativas: maximización de Funciones de ingreso, utilidad f y Beneficios; minimización de Funciones de Costos y Costos Promedio. 

Maximizar o minimizar una función objetivo

Página web con conceptos e ideas de maximizar o minimizar una función objetivo de programación lineal.

Optimizar un problema para maximizar el beneficio y minimizar el gasto

En este problema tenemos que plantear una función objetivo para maximizar el beneficio y otrafunción objetivo para minimizar el consumo.

Planteamiento del problema

- Construimos una tabla con los datos del enunciado

Maximizar o minimizar una función objetivo
	A	B
Consumo (L)	900	700
Beneficios (€)	30000	20000

- Expresamos con ecuaciones e inecuaciones lineales la información descrita

- Representamos las restricciones y nombramos los puntos de la región factible

- Calculamos las coordenadas de los puntos de la región factible y la solución de las funciones objetivo

http://www.vadenumeros.es/sociales/optimizar-maximizar-minimizar.html

5.6 Elasticidades: elasticidad de la Demanda y elasticidad del ingreso.

ELASTICIDAD INGRESO DE LA DEMANDA

La elasticidad ingreso de la demanda , llamada a veces elasticidad demanda-renta, mide cómo afectan las variaciones de la renta o ingresos de los consumidores a la cantidad demandada de un bien. El coeficiente de elasticidad ingreso de la demanda e I se calcula dividiendo la variación porcentual de la demanda por la variación porcentual de la renta.

De acuerdo al valor de e I , los bienes se pueden clasificar como:

•  Bienes normales : Son aquellos cuyo coeficiente de elasticidad ingreso es positivo. Esto significa que cuando aumentan los ingresos del consumidor, la demanda de los bienes normales también aumenta. Pueden ser:

•  Bienes de lujo: Su coeficiente de elasticidad ingreso es mayor que 1. Es decir, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda crece en una proporción mayor.

•  Bienes básicos: Su coeficiente de elasticidad ingreso es positivo y menor que 1. Es decir, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda crece en una proporción menor.

•  Bienes inferiores : Su coeficiente de elasticidad ingreso es negativo. Por tanto, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda de estos bienes disminuye porque el consumidor puede optar por otros productos de mayor calidad.

Debido a la variabilidad de la elasticidad ingreso, un bien puede ser de lujo a niveles bajos de ingreso y un bien inferior a niveles altos de ingreso.

ELASTICIDAD CRUZADA DE LA DEMANDA

La elasticidad cruzada de la demanda mide cómo evoluciona y se modifica la demanda de un bien cuando cambia el precio de otro. La elasticidad cruzada se calcula dividiendo el cambio porcentual de la cantidad demandada del bien X ante una variación porcentual del precio del bienY . Si los bienes son sustitutivos (por ejemplo, distintas marcas de automóviles) el aumento del precio de la marca X puede aumentar las ventas de la marca Y , por lo que la elasticidad cruzada será positiva. Si los bienes son complementarios, por ejemplo, los ordenadores o computadoras y el software, el aumento del precio de uno disminuirá las ventas del otro, por lo que la elasticidad cruzada será negativa. Si los bienes son independientes, por ejemplo, teléfonos y cepillos de dientes, por mucho que aumente el precio de uno no variará la demanda del otro, por lo que la elasticidad cruzada será cero.

El coeficiente de elasticidad cruzada del bien X con respecto al bien Y se define como:

ELASTICIDAD PRECIO DE LA OFERTA

La elasticidad precio de la oferta mide cómo la variación del precio de un bien afecta a la cantidad ofrecida de ese bien, cuando todos los demás factores permanecen constantes. Se calcula dividiendo el cambio porcentual en la cantidad ofrecida por el cambio porcentual del precio.

El coeficiente de la elasticidad precio de la oferta ( e O ) es una medida del cambio porcentual de la cantidad ofrecida de un artículo por unidad de tiempo, que resulta de una variación porcentual del precio del artículo. Si ?Qo representa el cambio en la cantidad ofrecida de un artículo debido a un cambio en su precio ?P, el coeficiente de elasticidad se define como:

De acuerdo a este criterio, la oferta se puede clasificar en elástica (si e O > 1), inelástica (si e O < 1) y unitaria (si e O = 1). Se pueden encontrar e O arco y e O punto de la misma forma que e arco y e punto.

http://www.aulafacil.com/cursosenviados/cursomicroeconomia/Lecc-7.htm


RESUMEN DE LA UNIDAD V:

La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

UNIDAD IV TOPICOS COMPLEMENTARIOS DE DIFERENCIACION

Objetivo:

. El alumno aprenderá el USO de Técnicas Avanzadas de derivación Y Sus Aplicaciones, Parr Casos Especiales Derivadas de Funciones Como exponenciales, logarítmicas Funciones y Funciones implícitas, Entre Otras. Comprenderá el Concepto de diferencial Y Sus Aplicaciones.


4.1 Derivadas de Funciones logarítmicas. 

En el ámbito de las matemáticas, específicamente en el cálculo y el análisis complejo, la derivada logarítmica de unafunción f queda definida por la fórmula

donde f ′ es la derivada de f.

Cuando f es una función f(x) de una variable real x, y toma valores reales, estrictamente positivos, esta es entonces la fórmula para (log f)′, o sea, la derivada del logaritmo natural de f, como se deduce aplicando directamente la regla de la cadena.

Propiedades básicas

Muchas propiedades del logaritmo real también son válidas para la derivada logarítmica, aún cuando la función no toma valores de reales positivos. Por ejemplo, dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, se tiene que

Por lo que para funciones reales positivas, la derivada logarítmica de un producto es la suma de la derivada logarítmica de los factores. También es posible aplicar la regla de Leibniz para la derivada del producto y así obtener  Por lo tanto, es cierto que para toda función que la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando las mismas están definidas).

En forma similar (de hecho es una consecuencia), la derivada logarítmica de de la función recíproca de una función es el negado de la derivada logarítmica de la función:

en la misma forma que el logaritmo de la recíproca de un número real positivo es la negación del logaritmo del número.

En forma general, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del dividendo y del divisor:

en la misma forma que el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.

Con respecto a la derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante), la misma es el producto del exponente y de la derivada logarímica de la base:

en forma análoga a que el logaritmo de una potencia es el producto entre el exponente y el logaritmo de la base.

En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos poseen una regla del producto, una regla recíproca, una regla del cociente, y una regla de la potencia (comparar con la lista de identidades logarítmicas); cada par de reglas se encuentran relacionadas mediante la derivada logarítmica.

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_logar%C3%ADtmica

4.2 Derivadas de Funciones exponenciales. 

Sabemos que  e es un número irracional, pues e = 2.718281828... La notación epara este número fue dada por Leonhard Euler (1727).

La función f(x) = e^x   es una función exponencial natural. Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = e^x está entre f(x) = 2^x y f(x) = 3^x, como se ilustra a la izquierda.

 Como e > 1, la función f(x) = e^x es una función creciente. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales positivos.

Las calculadoras científicas contienen una tecla para la función f(x) = e^x. Geométricamente la pendiente de la gráfica de f(x) = e^x en cualquier punto (x,e^x) es igual a la coordenada y de ese punto.  Por ejemplo, en la gráfica de f(x) = e^x  en el punto (0,1) la pendiente es 1.

 Reglas para la derivación de funciones exponenciales:

http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/dervfunexponenciales.htm

4.3 diferenciación implícita. 

Se dice  que  una  función  donde   la  variable depende  se  expresa  solo  en  términos  de  la  variable  independiente  x,  a  saber, y = f(x), es  una  función  explicita  por  ejemplo  y = ½ x³ -1  es  una  función explicita. Por  otra  parte  se  dice que  una  función implícita de x  acabamos  de  ver  que  la  ecuación  x² + y² = 4 define  implícita  mente  la  función  o  que  es  una  función implícita de x.  acabamos  de  ver  que  la  ecuación x² + y² = 4 define  implícita  mente   las  dos  funciones  f(x) =    4 – x²      y  g(x) = –    4 – x²

EJEMPLO  DE  LA  DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA.

Encuentre  dy/ dx  si  x² + y² = 4

Solución.  Se  diferencian  ambos miembro   de  la  ecuación  y  luego se  usa (6):

dx²  + d y² =   d 4

dx         dx       dx

2x + 2y dy   = 0

Dx

Al  despejar  la  derivada  obtenemos.

Dy = -x

Dx    y

http://calculoumgsanmarcos.ccvsanmarcos.com/f-diferenciacion-implicita/

4.4 diferenciación logarítmica. 

Se deriva una función utilizando la técnica de diferenciación logarítmica. Se aprovechan ademá las propiedades de los logaritmos para simplicar la función y derivarla de una manera más sencilla. el video es un poco largo poco se explica paso a paso y no se omite ninguno de ellos. Se utiliza diferenciación logarítmica como una alternativa a la derivación en lugar de la regla de la cadena u otra técnica, aunque no pretende substituirla.



https://www.youtube.com/watch?v=fi6dQdhAQOQ

4.5 Derivadas de Orden superior. 

Sea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.

http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Derivadas_de_orden_superiorbibliografia:  mi libreta de apuntes



4.6 Diferenciales. 

En matemática, el término diferencial posee varios significados:

• En el campo de la matemática llamado cálculo, el diferencial representa un cambio en la linearización de una función.
• Tradicionalmente, el diferencial (ej. dx, dy, dt etc...) es interpretado como un infinitesimal.
• La diferencial jacobiana cuyas componentes son las derivadas parciales de una función de forma Rⁿ en R^m(especialmente cuando esta matriz es vista como una aplicación lineal).
•   Geometría diferencial
• Las formas diferenciales proveen un marco de trabajo que permite multiplicación y derivación de diferenciales.
• La derivada exterior es una noción de derivación de formas diferenciales que generaliza el diferencial de una función (la cual es un diferencial 1-forma).
• La aplicación diferencial tangente o pushforward se refiere a la derivada de una aplicación entre variedades diferenciables y las operaciones que define. El diferencial es también usado para definir el concepto dual depullback.

http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencial_%28c%C3%A1lculo%29

RESUMEN DE LA UNIDAD IV:

Este es el resumen de la unidad IV. Si una ecuación define de manera implícita a y como función de x [en vez de definirla en forma explícita, en forma y = f (x )], entonces dy/dx puede encontrarse por diferenciación implícita. Con este método, tratamos a y como una función de x y diferenciamos ambos miembros de la ecuación con respecto a x.

UNIDAD III LA DERIVACION DE UNA FUNCION

Objetivo: 

El alumno entenderá el Concepto de Derivada y su Interpretación geométrica Y Como Razón de Cambio. Utilizará la definition de la Derivada párrafo Obtener ALGUNAS reglas de derivación. Aplicará las reglas de derivación en la Resolución de Problemas Que involucren los Conceptos de tasa instantánea de Cambio, una curva tangente Una en punto de las Naciones Unidas; Medida y marginal de Funciones de Coste, Utilidad, ingreso y Producción.


3.1 Definición de la Derivada.  

En  matemáticas , la  Derivada  De Una  Función  Es Una Medida de la Rapidez con La que cambia el valor de Dicha Función matemática, segun Cambie el valor de su  variable de independiente . La Derivada De Una función f es Concepto ONU locales, es Decir, se Calcula Como el  Límite  de la Rapidez de Cambio medios de la Función en intervalo Cierto ONU, Cuando El intervalo considerado Para La independiente variables se torna Cada Vez Más pequeño. : Por ello se habla del valor de la Derivada De Una Cierta Función  En un punto dado .

Un EJEMPLO Aparece habitual al estudiar el  movimiento : Si Una Función repre la  posicion  de la ONU con Objeto RESPECTO al  Tiempo , su Derivada es la  Velocidad  de DICHO Objeto. Un avión Que Realice ONU vuelo transatlántico de 4.500 kilometros Entre las 12:00 y las 18:00, Viaja una ANU  Velocidad media  de 750 kmh. Sin embargo, Florerias Estar viajando un VELOCIDADES mayores o Menores en distintos Tramos de la ruta. En concreto, si Entre las 15:00 y las 15:30 Recorre 400 kilometros, medios Velocidad do en ESE tramo es de 800 kmh. Para conocer su  velocity instantánea  una las 15:20, por EJEMPLO, es Necesario Calcular la Velocidad media en intervalos de Tiempo Cada Vez Menores Alrededor of this hora: entre las 15:15 y las 15:25, Entre las 15:19 y las 15:21, etc.

ENTONCES el valor de la Derivada De Una Función En un punto Florerias interpretarse geometricamente, ya Que se corresponde con la  pendiente  de la  recta tangente  a la  gráfica  de la función f en DICHO punto. La recta tangente és a su Vez la gráfica de la mejor  aproximación lineal  de la Función Alrededor de DICHO punto. La Noción de Derivada Puede del generalizarse párr El caso de Funciones de Más De Una variable de la estafa  Derivada parcial  y el  diferencial .

La Derivada De Una Función  f  En un punto  x  se denota Como  f ' ( x ). La Función Cuyo valor En Cada punto  x  es this Derivada es la llamada  Función Derivada  de  f , denotada por  f '. El Proceso de Encontrar la Derivada De Una función f se denominador diferenciación , y Es Una de las Herramientas Principales en el área de las matemáticas Conocida Como  cálculo infinitesimal . Concretamente, El que Trata de Asuntos vinculados con la Derivada en sí denominador  cálculo diferencial . ¹

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

3.2 diferenciación de Funciones por incrementos. 

Si f (x) Es Una función f derivable, la  diferencial De Una Función  Correspondiente al increment h de la independiente variables, Es El product f '(x) · h .

La  diferencial De Una función f  se represen por dy.

Interpretación geométrica

La  diferencial En un punto  repre el Incremento de la ordenada de la tangente, Correspondiente a la ONU Incremento de la variable.

http://www.dervor.com/derivadas/diferencial.html

3.3 La Derivada Como Razón de Cambio. 

Comenzando por la  Razón Instantánea de Cambio  De Una Función Cuya independiente es variable de El Tiempo,  t . suponiendo Que  Q  Es Una amount Que Varia con RESPECTO del tiempo  t,  Escribiendo  Q = f (t),  Siendo el valor de  Q  en el instante  t.  EJEMPLO Por

• El Tamaño De Una Población (peces, ratas, personajes, bacterias, ...)
• La Cantidad de Dinero En Una Cuenta En un banco
• El volumen de la ONU globo se infla MIENTRAS
• La distancia  t  recorrida en Un viaje despues del comienzo de Viaje ONU

El Cambio en  Q  from El Tiempo  t  Hasta El Tiempo  t + "t,  Es El increment

La  Razón de Cambio Promedio  de  Q  (por la Unidad de Tiempo) es, por definition, La Razón de Cambio  "Q  en  Q  con RESPECTO Del Cambio  "t  baño  t ,  Que Lo por Es El cociente

Definimos la  Razón de Cambio instantánea  de  Q  (por unidad de Tiempo) Como el limite de this reason Promedio cuando " t 0.  Es Decir, La Razón de Cambio instantánea de  Q  es

http://html.rincondelvago.com/razon-de-cambio.html

3.4 Diferenciabilidad y Continuidad. 

Empezar Pará, Recordando la definition de la Derivada De Una función f, y he aquí SIGNIFICA Que Para Ser Una función f diferenciable.

Derivada; Diferenciabilidad La  Derivada  de Función Una f en el punto a en su Dominio se definen por f '(a) = lim h 0 f (a H +) - f (a) h Décimos Que la Función f es  diferenciable en el punto a en su Dominio  si f '(a) Existe. Diferenciable En un subconjunto del Dominio la Función f es  diferenciable en el subconjunto S de su Dominio  si es diferenciable En Cada punto de S. Nota Una función f Puede Fallar Ser diferenciable en el punto a si lim h 0 f (a H +) - f (a) h no Existe, o es infinito. En El caso de imprimación, A Veces TENEMOS Una cúspide en la gráfica, y en El último Caso, obtenemos Un Punto de tangencia vertical.

 EJEMPLO 1  Funciones no diferenciables en puntos Aislados

Determina los puntos de no diferenciabilidad de las Siguientes Funciones

(A)

f (x)

=

(X-1) 1/3

(B)

g (x)

=

| X + 2 |

(C)

r (x)

=

x 2 x - 1

Solución

(A)  La regla de la potencia nos dados Que f (x) = (x-1) ^1/3  Tiene Derivada f '(x) = (1/3) (x-1) ^-2/3  baño Todas los puntos Donde se definen Expresión this, y no es diferenciable CUANDO (1/3) (x-1) ^-2/3  no se definen. Porque (x-1) Tiene Un exponente negativo, f '(x) sin CUANDO ESTA Definido x = 1, y he aquí por del tanto f no es diferenciable Ahí. De Hecho, directo cálculo ONU Muestra Que

lim h 0

f (1 + h) - f (1) h

=

lim h 0

h 1/3 h

=

lim h 0

1 h 2/3

=

+ ,

Mostrando Que f no es diferenciable en x = 1.

(B)

Porque g (x) = | x + 2 | =

- (x + 2) x + 2

si x   -2 si x> -2

,

Y Que ya sabemos Que los - (x + 2) y x + 2 diferenciables hijo, el unico punto en El que Florerias salir algo mal es CUANDO x = -2. En Este punto, PODEMOS Calcular El Límite del cociente de la Diferencia Directamente:

lim h 0

f (-2 + h) - f (-2) h

=

lim h 0

| H | h

.

Sin embargo, this Límite no Existe (ver El Ejemplo 2 en la section 6 del capitulo Sobre Derivadas en  Cálculo Aplicado al Mundo Real ) ya Que los Límites izquierdo y derecho hijo DIFERENTES.

(C)  La regla del cociente nos dados Que r (x) = x ² / (x - 1) es diferenciable en todos los puntos EXCEPTO en x = 1. Sin embargo, x = 1 no está en el Dominio de r, y por lo del tanto r es diferenciable en todos los puntos de Dominio do.

Como VEMOS en la gráfica a la Derecha, no hay puntos de tangencia del heno o cúspides verticales.

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/calctopic1/contanddiffb.html


3.5 Reglas Básicas de derivación: la Derivada De Una constante, De Una constante Por Una función f, de SUMA o Resta de Funciones, Y del Producto o Del cociente de Funciones. 


Derivada De Una Función de grado n

Una  función f de grado n , Donde n es exponente real de un, sí sentantes POR   Y Su Derivada es  .

ALGUNOS Tipos of this tipo de Funciones hijo: Función cuadrática, cúbica Función, Entre Otras.

Por EJEMPLO la Función:

Lo Primero es "bajar" el  exponente  de tal forma Que Este multiplique a la variable de aire RESPECTO a la cual sea Estamos derivando, LUEGO al Mismo exponente se le resta la unidad Formando nuevo uno, Asi:

Quedando Finalmente:

Considérese la Función 

Se Tiene:

Derivada De Una constante Por Una función f

Cuando Una Función Esté representada por medio de  , su Derivada Equivale una   de la siguiente Manera:

Consideremos la siguiente función f:  he aquí un Primero Hacer es "bajar" al exponente de una multiplicar por la variable y el coeficiente del la del que acompana, y de nuevo se halla Un Nuevo exponente de la Misma Manera explicada anteriormente:

Obtener Pará

Cuando Una constante acompana un Una variable de Cuyo exponente es 1 Do Derivada Será el valor de la constante:

Then do Derivada con un RESPECTO this variable de Sera:

Que Puesto 

Derivada De Una suma ¹

Se Puede demostrar un partir de la definition de Derivada, la del que Derivada de la suma de dos: funciones es la suma de las Derivadas de Cada Una.

Es Decir,   o  .

Como EJEMPLO consideremos la Función  , párr determinar S. Do Derivada se Trabaja la Derivada de Cada término aparte y La Suma de Ambos Será la Derivada de la Función:

Derivada PRODUCTO DE ONU

Artículo principal:  Regla del Producto (cálculo)

La Derivada se Expresa  literalmente  de la siguiente forma:

"La Derivada de la ONU PRODUCTO DE DOS Funciones es Equivalente a la suma Entre el product de la primera Función pecado derivar y la Derivada de la Segunda Función y el product de la Derivada de la primera función f por La Segunda Función derivar pecado."

Y  matemáticamente  expresado por la Relación  . Consideremos la siguiente función f Como EJEMPLO:

Identificamos una   y  , utilizando las reglas anteriormente expuestas, Que VEMOS:

 Y Que 

Por lo del tanto

Simplificando y organizando el Producto obtenido nos Qaeda:

Sumamos Términos Semejantes y Finalmente obtenemos la Derivada:

Si por EJEMPLO TENEMOS la Derivada del Producto de tres Funciones Que dependen de la Misma variables, PODEMOS PENSAR EL PRODUCTO DE DOS de las Funciones Como Si se tratara De Una Tercera Función es Decir   En Donde   (pecado Importar Que dos Funciones escogemos).

Derivada cociente de la ONU

Artículo principal:  Regla del cociente

La Derivada de la ONU  cociente  se Determina por la siguiente Relación:

Para Aquellos Que se puedan confundir por ALGUNAS las variables de Más Se Puede Escribir Así:

Es Decir:

"La Derivada de la ONU cociente de dos Funciones es la Función UBICADA EN el denominador por la Derivada del numerador Menos la Derivada de la Función en el denominador por la Función del numerador derivar pecado, Todo sobre la Función del denominador al cuadrado".

Este Caso se Relaciona Con mucho la regla de Derivada de producto un, Pero Hay Que Tener en Cuenta la resta y el Orden de los Factores. Pero ya explicando lo DICHO anteriormente consideremos Como EJEMPLO la siguiente función f:

Ahora sí Trabaja el enunciado anterior el cual sea nos dados Que multipliquemos el denominador Que En Este Caso es   y se multiplique por la Derivada del numerador seria Que  ; LUEGO La Segunda parte dados Que tomemos la Función Del numerador ( ) pecado derivar Y multipliquemos del lo por la Derivada de  , seria Que  , dividimos del lo ESTO TODO Entre el denominador al cuadrado, Asi:

Ahora Todo es Cuestión de Simplificar:

http://es.wikipedia.org/wiki/Reglas_de_derivaci%C3%B3n

3.6 La regla de la cadena y de la potencia. 

La  regla de la cadena  Es Una  Fórmula  párrafo Calcular la  Derivada  de la  Composición  de dos o mas  Funciones . Esto Es, si  f  y  g Son Dos Funciones, then la regla de la cadena Expresa la Derivada de la  Función Compuesta  f  ∘  g  en Términos de las Derivadas de  f  y  g . EJEMPLO Por, la regla de la cadena de  f  ∘  g  ( x ) ≡  f  [ g  ( x )]  es

o escrito en notación de Leibniz

Regla de la potencia Ya HEMOS deducido La Fórmula párrafo Calcular la Derivada De Una potencia en la page ??. La Formula Que obtuvimos es la siguiente: d (x) dx = nxn-1 This Fórmula Será de gran utilidad f párrafo derivar Funciones polinomiales. Example 1 Calcula la Derivada de la Función: y = x 12 • Si tuvieramos Que utilizar la regla de los Cuatro Pasos el Procedimiento Seria muy largo. • Sin embargo, ya sabemos La Fórmula párrafo derivar Una potencia. • Así Que basta con aplicarla. • En Este Caso n = 12, y de here Que n - 1 = 11. • Sustituyendo en una fórmula obtenemos: d (x) dx = nx n-1 dy dx = 12x 

http://es.wikipedia.org/wiki/Reglas_de_derivaci%C3%B3n

http://www.aprendematematicas.org.mx/notas/calcdiferencial/DGB5_2_2_1.pdf

3.7 Aplicaciones a las Ciencias Económico Administrativas: Coste marginal, ingreso marginal, Utilidad marginal, propensión marginal al Consumo y propensión marginal al ahorro. 

Coste marginal , mide la tasa de Variación del coste dividida por la Variación de la Producción. Para Comprender mejor el Concepto de coste marginal, se Suele expresar el coste marginal de Como El que increment Sufre el coste Cuando Se Incrementa la Producción del una unidad, es Decir, el Incremento del coste total de Que Supone la Producción Adicional De Una unidad de Determinado ONU busque.

Matemáticamente, la Función del coste marginal   es expresada Como la Derivada de la Función del coste total del   aire RESPECTO a la amount  :

La curva Que repre La Evolución del Coste marginal Tiene forma de parábola cóncava, DEBIDO A la Ley de los Rendimientos decrecientes. En El Punto Mínimo de Dicha curva, SE Encuentra El Numero de bienes a Producir Para Que los Costos baño Beneficio de la Empresa Mínimos Sean. En Dicha curva, el punto de corte con la curva de Costes Medios nos Determina el Óptimo de Producción, un punto partir del cual sea se obtiene production alcalde.
En Política de precios En el coste marginal nos marca el precio de un partir del cual sea obtenemos: beneficios, siempre Y Cuando hayamos Alcanzado el umbral de rentabilidad o punto muerto.

conclusión:  Coste marginal , mide la tasa de Variación del coste dividida por la Variación de la Producción.

La  propensión marginal al Consumo  mide Cuánto se Incrementa el Consumo de una persona Cuando Se Incrementa su renta disponible (los income de Los Que Dispone Despues De Pagar Impuestos) del una unidad monetaria.

Matemática FORMULACION

La propensión marginal al Consumo se definirá Como el Aumento del  Consumo  con la renta disponible, matemáticamente Florerias expresarse Como la siguiente Derivada:

Que Explica Cuánto Varia el CUANDO Consumo Varia el ingreso. En el Análisis de Consumo  keynesiano , se formula la siguiente Expresión de Consumo:

Que se CONSIDERA approximately Válida párrafo intervalos de Variación de la renta en los del la del que PMC permanece approximately constante:

 = Consumo

 = Consumo autónomo o fijo.

 = Propensión marginal a Consumir

 = Ingreso disponible 

 = Propensión marginal a Ahorrar.

Example

Ejemplificando, si la propensión marginal a Consumir es 1, el Individuo gasta Completamente TODO nuevo ingreso Que le Llega. Si fuese 0, then ahorraría TODO nuevo ingreso.

Si la propensión marginal es 1, el Individuo o Economía no Ahorros acumularía. En Caso De que fuese inferior a a cero 1 y superior, Existe Cierta propensión marginal a Ahorrar, Que es  , y Existe ONU ahorro Efectivo acumulado por parte de las economías o del Individuo. La  propensión marginal al ahorro  dependera, visto desde Punto de Vista de Factores endógenos al modelo, de la Capacidad de ahorro Que tenga de la economía, y de la posibilidad f Que del tenga this. Se espera Que (b) del tenga valor Más ONU alto en economías de Desarrollo alcalde.

Variación de la PMC

http://es.wikipedia.org/wiki/Propensi%C3%B3n_marginal_al_consumo

RESUMEN DE LA UNIDAD III:

 Es la unidad que se me hizo mas facil ya que el tema de las derivadas fue muy fácil en mi opinión para emplearlo en general la unidad 3 se volvió un poco mas dinámica ya los temas y ejercicios no eran tan tediosos y te dejaban mucho de aprendizaje.