luis manuel romo franco: UNIDAD III LA DERIVACION DE UNA FUNCION

Objetivo:

El alumno entenderá el Concepto de Derivada y su Interpretación geométrica Y Como Razón de Cambio. Utilizará la definition de la Derivada párrafo Obtener ALGUNAS reglas de derivación. Aplicará las reglas de derivación en la Resolución de Problemas Que involucren los Conceptos de tasa instantánea de Cambio, una curva tangente Una en punto de las Naciones Unidas; Medida y marginal de Funciones de Coste, Utilidad, ingreso y Producción.

3.1 Definición de la Derivada.

En matemáticas , la Derivada De Una Función Es Una Medida de la Rapidez con La que cambia el valor de Dicha Función matemática, segun Cambie el valor de su variable de independiente . La Derivada De Una función f es Concepto ONU locales, es Decir, se Calcula Como el Límite de la Rapidez de Cambio medios de la Función en intervalo Cierto ONU, Cuando El intervalo considerado Para La independiente variables se torna Cada Vez Más pequeño. : Por ello se habla del valor de la Derivada De Una Cierta Función En un punto dado .

Un EJEMPLO Aparece habitual al estudiar el movimiento : Si Una Función repre la posicion de la ONU con Objeto RESPECTO al Tiempo , su Derivada es la Velocidad de DICHO Objeto. Un avión Que Realice ONU vuelo transatlántico de 4.500 kilometros Entre las 12:00 y las 18:00, Viaja una ANU Velocidad media de 750 kmh. Sin embargo, Florerias Estar viajando un VELOCIDADES mayores o Menores en distintos Tramos de la ruta. En concreto, si Entre las 15:00 y las 15:30 Recorre 400 kilometros, medios Velocidad do en ESE tramo es de 800 kmh. Para conocer su velocity instantánea una las 15:20, por EJEMPLO, es Necesario Calcular la Velocidad media en intervalos de Tiempo Cada Vez Menores Alrededor of this hora: entre las 15:15 y las 15:25, Entre las 15:19 y las 15:21, etc.

ENTONCES el valor de la Derivada De Una Función En un punto Florerias interpretarse geometricamente, ya Que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en DICHO punto. La recta tangente és a su Vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la Función Alrededor de DICHO punto. La Noción de Derivada Puede del generalizarse párr El caso de Funciones de Más De Una variable de la estafa Derivada parcial y el diferencial .

La Derivada De Una Función f En un punto x se denota Como f ' ( x ). La Función Cuyo valor En Cada punto x es this Derivada es la llamada Función Derivada de f , denotada por f '. El Proceso de Encontrar la Derivada De Una función f se denominador diferenciación , y Es Una de las Herramientas Principales en el área de las matemáticas Conocida Como cálculo infinitesimal . Concretamente, El que Trata de Asuntos vinculados con la Derivada en sí denominador cálculo diferencial . ¹

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

3.2 diferenciación de Funciones por incrementos.

Si f (x) Es Una función f derivable, la diferencial De Una Función Correspondiente al increment h de la independiente variables, Es El product f '(x) · h .

La diferencial De Una función f se represen por dy.

Interpretación geométrica

La diferencial En un punto repre el Incremento de la ordenada de la tangente, Correspondiente a la ONU Incremento de la variable.

http://www.dervor.com/derivadas/diferencial.html

3.3 La Derivada Como Razón de Cambio.

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio De Una Función Cuya independiente es variable de El Tiempo, t . suponiendo Que Q Es Una amount Que Varia con RESPECTO del tiempo t, Escribiendo Q = f (t), Siendo el valor de Q en el instante t. EJEMPLO Por

El Tamaño De Una Población (peces, ratas, personajes, bacterias, ...)
La Cantidad de Dinero En Una Cuenta En un banco
El volumen de la ONU globo se infla MIENTRAS
La distancia t recorrida en Un viaje despues del comienzo de Viaje ONU

El Cambio en Q from El Tiempo t Hasta El Tiempo t + "t, Es El increment

La Razón de Cambio Promedio de Q (por la Unidad de Tiempo) es, por definition, La Razón de Cambio "Q en Q con RESPECTO Del Cambio "t baño t , Que Lo por Es El cociente

Definimos la Razón de Cambio instantánea de Q (por unidad de Tiempo) Como el limite de this reason Promedio cuando " t 0. Es Decir, La Razón de Cambio instantánea de Q es

http://html.rincondelvago.com/razon-de-cambio.html

3.4 Diferenciabilidad y Continuidad.

Empezar Pará, Recordando la definition de la Derivada De Una función f, y he aquí SIGNIFICA Que Para Ser Una función f diferenciable.

Derivada; Diferenciabilidad
La Derivada de Función Una f en el punto a en su Dominio se definen por

f '(a)

lim
h

f (a H +) - f (a) h

Décimos Que la Función f es diferenciable en el punto a en su Dominio si f '(a) Existe.
Diferenciable En un subconjunto del Dominio
la Función f es diferenciable en el subconjunto S de su Dominio si es diferenciable En Cada punto de S.
Nota

Una función f Puede Fallar Ser diferenciable en el punto a si

lim
h

f (a H +) - f (a) h

no Existe, o es infinito.

En El caso de imprimación, A Veces TENEMOS Una cúspide en la gráfica, y en El último Caso, obtenemos Un Punto de tangencia vertical.

EJEMPLO 1 Funciones no diferenciables en puntos Aislados

Determina los puntos de no diferenciabilidad de las Siguientes Funciones

(A)

f (x)

(X-1) ^1/3

(B)

g (x)

| X + 2 |

(C)

r (x)

x ^{2 x - 1}

Solución

(A) La regla de la potencia nos dados Que f (x) = (x-1) ^1/3 Tiene Derivada f '(x) = (1/3) (x-1) ^-2/3 baño Todas los puntos Donde se definen Expresión this, y no es diferenciable CUANDO (1/3) (x-1) ^-2/3 no se definen. Porque (x-1) Tiene Un exponente negativo, f '(x) sin CUANDO ESTA Definido x = 1, y he aquí por del tanto f no es diferenciable Ahí. De Hecho, directo cálculo ONU Muestra Que

lim
h

f (1 + h) - f (1) h

lim
h

h ^1/3

lim
h

1 h ^2/3

Mostrando Que f no es diferenciable en x = 1.

(B)

Porque g (x) = | x + 2 | =

- (x + 2) x + 2

si x

-2 si x> -2

Y Que ya sabemos Que los - (x + 2) y x + 2 diferenciables hijo, el unico punto en El que Florerias salir algo mal es CUANDO x = -2. En Este punto, PODEMOS Calcular El Límite del cociente de la Diferencia Directamente:

lim
h

f (-2 + h) - f (-2) h

lim
h

| H | h

Sin embargo, this Límite no Existe (ver El Ejemplo 2 en la section 6 del capitulo Sobre Derivadas en Cálculo Aplicado al Mundo Real ) ya Que los Límites izquierdo y derecho hijo DIFERENTES.

(C) La regla del cociente nos dados Que r (x) = x ² / (x - 1) es diferenciable en todos los puntos EXCEPTO en x = 1. Sin embargo, x = 1 no está en el Dominio de r, y por lo del tanto r es diferenciable en todos los puntos de Dominio do.

Como VEMOS en la gráfica a la Derecha, no hay puntos de tangencia del heno o cúspides verticales.

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/calctopic1/contanddiffb.html

3.5 Reglas Básicas de derivación: la Derivada De Una constante, De Una constante Por Una función f, de SUMA o Resta de Funciones, Y del Producto o Del cociente de Funciones.

Derivada De Una Función de grado n

Una función f de grado n , Donde n es exponente real de un, sí sentantes POR

f (x) = x ^ {n}

Y Su Derivada es

f '(x) = nx ^ {n-1}

ALGUNOS Tipos of this tipo de Funciones hijo: Función cuadrática, cúbica Función, Entre Otras.

Por EJEMPLO la Función:

f (x) = x ^ {3}

Lo Primero es "bajar" el exponente de tal forma Que Este multiplique a la variable de aire RESPECTO a la cual sea Estamos derivando, LUEGO al Mismo exponente se le resta la unidad Formando nuevo uno, Asi:

f '(x) = 3x ^ {3-1}

Quedando Finalmente:

f '(x) = 3x ^ {2}

Considérese la Función

f (x) = x ^ {1/3} \,

Se Tiene:

f \ '(x) = 1/3 * x ^ {- 2/3}

Derivada De Una constante Por Una función f

Cuando Una Función Esté representada por medio de

f (x) = cx ^ {n}

, su Derivada Equivale una

f '(x) = n (cx ^ {(n-1)})

de la siguiente Manera:

Consideremos la siguiente función f:

f (x) = 8x ^ {4}

he aquí un Primero Hacer es "bajar" al exponente de una multiplicar por la variable y el coeficiente del la del que acompana, y de nuevo se halla Un Nuevo exponente de la Misma Manera explicada anteriormente:

f '(x) = 4 (8x ^ {4-1})

Obtener Pará

f '(x) = 32x ^ {3}

Cuando Una constante acompana un Una variable de Cuyo exponente es 1 Do Derivada Será el valor de la constante:

f (x) = 7x

Then do Derivada con un RESPECTO this variable de Sera:

f '(x) = 7

Que Puesto

x ^ {0} = 1

Derivada De Una suma ¹

Se Puede demostrar un partir de la definition de Derivada, la del que Derivada de la suma de dos: funciones es la suma de las Derivadas de Cada Una.

Es Decir,

(F + g) '(x) = f' (x) + g '(x)

\ Frac {d [f (x) + g (x)]} {dx} = \ frac {df} {dx} + \ frac {dg} {dx}

Como EJEMPLO consideremos la Función

f (x) = 3x ^ {5} + x ^ {3}

, párr determinar S. Do Derivada se Trabaja la Derivada de Cada término aparte y La Suma de Ambos Será la Derivada de la Función:

f '(x) = 15x ^ {4} + 3x ^ {2}

Derivada PRODUCTO DE ONU

Artículo principal: Regla del Producto (cálculo)

La Derivada se Expresa literalmente de la siguiente forma:

"La Derivada de la ONU PRODUCTO DE DOS Funciones es Equivalente a la suma Entre el product de la primera Función pecado derivar y la Derivada de la Segunda Función y el product de la Derivada de la primera función f por La Segunda Función derivar pecado."

Y matemáticamente expresado por la Relación

(F \ cdot g) '= f' \ cdot g + f \ cdot g '\,

. Consideremos la siguiente función f Como EJEMPLO:

h (x) = (4x + 2) (3x ^ {7} 2)

Identificamos una

f (x) = (4x + 2)

g (x) = (3x ^ {7} 2)

, utilizando las reglas anteriormente expuestas, Que VEMOS:

f '(x) = 4

Y Que

g '(x) = 21x ^ {6}

Por lo del tanto

h '(x) = 4 \ cdot (3x ^ {7} 2) + (4x + 2) \ cdot (21x ^ {6})

Simplificando y organizando el Producto obtenido nos Qaeda:

h '(x) = 84x ^ {7} + 12x ^ {7} + 42x ^ {6} 8

Sumamos Términos Semejantes y Finalmente obtenemos la Derivada:

h '(x) = 96x ^ {7} + 42x ^ {6} 8

Si por EJEMPLO TENEMOS la Derivada del Producto de tres Funciones Que dependen de la Misma variables, PODEMOS PENSAR EL PRODUCTO DE DOS de las Funciones Como Si se tratara De Una Tercera Función es Decir

(F \ cdot g \ cdot h) = (f \ cdot p) '

En Donde

p = g \ cdot h

(pecado Importar Que dos Funciones escogemos).

Derivada cociente de la ONU

Artículo principal: Regla del cociente

La Derivada de la ONU cociente se Determina por la siguiente Relación:

\ Left (\ frac {f (x)} {g (x)} \ right) '= \ frac {f' (x) g (x) -f (x) g '(x)} {g (x) ^ {2}}

Para Aquellos Que se puedan confundir por ALGUNAS las variables de Más Se Puede Escribir Así:

\ Left (\ frac {f} {g} \ right) '= \ frac {f'g-fg'} {g ^ {2}}

Es Decir:

"La Derivada de la ONU cociente de dos Funciones es la Función UBICADA EN el denominador por la Derivada del numerador Menos la Derivada de la Función en el denominador por la Función del numerador derivar pecado, Todo sobre la Función del denominador al cuadrado".

Este Caso se Relaciona Con mucho la regla de Derivada de producto un, Pero Hay Que Tener en Cuenta la resta y el Orden de los Factores. Pero ya explicando lo DICHO anteriormente consideremos Como EJEMPLO la siguiente función f:

h (x) = \ frac {3x + 1} {2x}

Ahora sí Trabaja el enunciado anterior el cual sea nos dados Que multipliquemos el denominador Que En Este Caso es

g (x) = 2x

y se multiplique por la Derivada del numerador seria Que

f '(x) = 3

; LUEGO La Segunda parte dados Que tomemos la Función Del numerador (

f (x)

) pecado derivar Y multipliquemos del lo por la Derivada de

g (x) = 2x

, seria Que

g '(x) = 2

, dividimos del lo ESTO TODO Entre el denominador al cuadrado, Asi:

h '(x) = \ frac {(3) (2x) - (3x + 1) (2)} {(2x) ^ {2}}

Ahora Todo es Cuestión de Simplificar:

h '(x) = \ frac {6x-6x-2} {4x ^ {2}} = - \ frac {1} {2x ^ {2}}

http://es.wikipedia.org/wiki/Reglas_de_derivaci%C3%B3n

3.6 La regla de la cadena y de la potencia.

La regla de la cadena Es Una Fórmula párrafo Calcular la Derivada de la Composición de dos o mas Funciones . Esto Es, si f y g Son Dos Funciones, then la regla de la cadena Expresa la Derivada de la Función Compuesta f ∘ g en Términos de las Derivadas de f y g . EJEMPLO Por, la regla de la cadena de f ∘ g ( x ) ≡ f [ g ( x )] es

(F \ circ g) '(x) = f' (g (x)) \ cdot g '(x)

o escrito en notación de Leibniz

\ Frac {df} {dx} = \ frac {df} {dg} \, \ frac {dg} {dx} \,.

Regla de la potencia Ya HEMOS deducido La Fórmula párrafo Calcular la Derivada De Una potencia en la page ??. La Formula Que obtuvimos es la siguiente: d (x) dx = nxn-1 This Fórmula Será de gran utilidad f párrafo derivar Funciones polinomiales. Example 1 Calcula la Derivada de la Función: y = x 12 • Si tuvieramos Que utilizar la regla de los Cuatro Pasos el Procedimiento Seria muy largo. • Sin embargo, ya sabemos La Fórmula párrafo derivar Una potencia. • Así Que basta con aplicarla. • En Este Caso n = 12, y de here Que n - 1 = 11. • Sustituyendo en una fórmula obtenemos: d (x) dx = nx n-1 dy dx = 12x

http://es.wikipedia.org/wiki/Reglas_de_derivaci%C3%B3n

http://www.aprendematematicas.org.mx/notas/calcdiferencial/DGB5_2_2_1.pdf

3.7 Aplicaciones a las Ciencias Económico Administrativas: Coste marginal, ingreso marginal, Utilidad marginal, propensión marginal al Consumo y propensión marginal al ahorro.

Coste marginal , mide la tasa de Variación del coste dividida por la Variación de la Producción. Para Comprender mejor el Concepto de coste marginal, se Suele expresar el coste marginal de Como El que increment Sufre el coste Cuando Se Incrementa la Producción del una unidad, es Decir, el Incremento del coste total de Que Supone la Producción Adicional De Una unidad de Determinado ONU busque.

Matemáticamente, la Función del coste marginal

CMa

es expresada Como la Derivada de la Función del coste total del

Connecticut

aire RESPECTO a la amount

Q

CM = {\ frac {} {DCT dQ}}

La curva Que repre La Evolución del Coste marginal Tiene forma de parábola cóncava, DEBIDO A la Ley de los Rendimientos decrecientes. En El Punto Mínimo de Dicha curva, SE Encuentra El Numero de bienes a Producir Para Que los Costos baño Beneficio de la Empresa Mínimos Sean. En Dicha curva, el punto de corte con la curva de Costes Medios nos Determina el Óptimo de Producción, un punto partir del cual sea se obtiene production alcalde.
En Política de precios En el coste marginal nos marca el precio de un partir del cual sea obtenemos: beneficios, siempre Y Cuando hayamos Alcanzado el umbral de rentabilidad o punto muerto.

conclusión: Coste marginal , mide la tasa de Variación del coste dividida por la Variación de la Producción.

La propensión marginal al Consumo mide Cuánto se Incrementa el Consumo de una persona Cuando Se Incrementa su renta disponible (los income de Los Que Dispone Despues De Pagar Impuestos) del una unidad monetaria.

Matemática FORMULACION

La propensión marginal al Consumo se definirá Como el Aumento del Consumo con la renta disponible, matemáticamente Florerias expresarse Como la siguiente Derivada:

$\ Mbox {} PMC = \ frac {} {dC dY_ {D}}$

Que Explica Cuánto Varia el CUANDO Consumo Varia el ingreso. En el Análisis de Consumo keynesiano , se formula la siguiente Expresión de Consumo:

$C = C_0 + cY_D \,$

Que se CONSIDERA approximately Válida párrafo intervalos de Variación de la renta en los del la del que PMC permanece approximately constante:

C \,

= Consumo

C_0 \,

= Consumo autónomo o fijo.

c \,

= Propensión marginal a Consumir

Y_D \,

= Ingreso disponible

Y (1-t)

(1-c) = b \,

= Propensión marginal a Ahorrar.

Example

Ejemplificando, si la propensión marginal a Consumir es 1, el Individuo gasta Completamente TODO nuevo ingreso Que le Llega. Si fuese 0, then ahorraría TODO nuevo ingreso.

Si la propensión marginal es 1, el Individuo o Economía no Ahorros acumularía. En Caso De que fuese inferior a a cero 1 y superior, Existe Cierta propensión marginal a Ahorrar, Que es

(1-c) = b

, y Existe ONU ahorro Efectivo acumulado por parte de las economías o del Individuo. La propensión marginal al ahorro dependera, visto desde Punto de Vista de Factores endógenos al modelo, de la Capacidad de ahorro Que tenga de la economía, y de la posibilidad f Que del tenga this. Se espera Que (b) del tenga valor Más ONU alto en economías de Desarrollo alcalde.

Variación de la PMC

$\ Frac {dc} {} dY_D = \ frac {d ^ 2C} {dY_D} \ le 0$

http://es.wikipedia.org/wiki/Propensi%C3%B3n_marginal_al_consumo

RESUMEN DE LA UNIDAD III:

Es la unidad que se me hizo mas facil ya que el tema de las derivadas fue muy fácil en mi opinión para emplearlo en general la unidad 3 se volvió un poco mas dinámica ya los temas y ejercicios no eran tan tediosos y te dejaban mucho de aprendizaje.